倍数の判定法

倍数の判定法は、分数を約分する時など、ある数が割り切れるかどうか知りたいときにとても便利。
ですが、この問題は、判定法をただ暗記しているだけでは全く役に立ちませんよ。

【問題】

次のように、１から99までの99個の数で、連続する3個の整数の積を全部で97個作ります。

１×２×３、２×３×４、３×４×５、・・・96×97×98、97×98×99

このなかで４の倍数である積は何個ありますか。
（洛南高校附属中学・改）

一般的な倍数の判定法
* 2の倍数 – 下1桁が2で割り切れる
* 3の倍数 – 各位の和が3で割り切れる
* 4の倍数 – 下2桁が4で割り切れる
* 5の倍数 – 下1桁が0か5
* 6の倍数 – 2の倍数であり、3の倍数である
* 8の倍数 – 下3桁が8の倍数である
* 9の倍数 – 各位の和が9で割り切れる
* 10の倍数 – 下１桁が0

4の倍数というと、下2桁が４で割り切れるとあります。
例えば、18×19×20＝6840
下2桁が40でこれは4で割り切れますね。
しかしこの考え方だと、すべて計算しなくてはいけなくなって大変です。
そこですごくステキな話なんですが、「偶数×偶数は４の倍数」ということを利用しましょう。

偶数は２の倍数なので、偶数×偶数は４の倍数ということになります。
これは意識の片隅にあるといいでしょう。
しかも奇数と偶数は交互に来ます。
よってこの問題には

ア：偶数×奇数×偶数　イ：奇数×偶数×奇数

この2種類しかないということなんです。
素晴らしいでしょう？

それではアの場合から見ていきましょう。
最初の偶数は２ですから2×3×4から始まり、96×97×98が最後です。
よって2〜96の中の偶数の個数は、96÷2＝48個です。

続いてイの場合。
両端の奇数同士をかけても4の倍数にはなりませんね。
ですから真ん中の偶数が４の倍数ならいいわけです。
100が４の倍数ですからそのひとつ前と考えて96。
これを４でわればいいわけですから、96÷4＝24個。

48＋24＝72個

４の倍数は72個あるということになります。
柔軟な思考は、思い込みを捨てることから生まれますね。